大学入試徹底攻略

物理や数学の入試問題の解説をします

物理の計算ミス防止方法、計算ミスチェック『完全保存版』【ケアレスミスがなくなる】

物理の計算には数学より多くの計算ミスチェック法があり、知っているだけで不注意な方もかなりリスクを軽減させることができます。しかし、学校、塾、予備校によって教えてくれるところと教えてくれないところがあり、情報格差が生じてしまっています。

そこで私はここに私が知っていることをまとめ、公開します。

ある程度すでに知っている方も、一度網羅的に確認しておくことをお勧めします。ルーズリーフにまとめてファイルしておくなどしてもいいと思います。私はそうしていました。

長いので、先に一度まとめを示しておきます

まとめ

①単位確認

②極限をとる

③定性的に考える

④別解を考える

⑤概算する

①単位確認

物理の正しい式の両辺の単位は必ず一致しています

例えば、時間tを求めた結果、

v=\sqrt{\frac{m^2gl(x+l)}{(M+m)Mx}}

という複雑な式になってうろたえるかもしれません

ですが、右辺の単位は時間の単位と同じになっているので、見かけよりかなり自信を持てます (分母分子のkg^2はキャンセルされて、mもキャンセルされv=\sqrt{gl}と同じ単位になるから、m/sの単位になる)

逆に

v=\sqrt{\frac{m^2l(x+l)}{(M+m)Mx}} (gが抜けている)

となった時は、単位がおかしいので、ミスが見逃されることはありません

しかも、途中式一本一本についても単位を確認すれば、どこで単位が合わなくなったのかわかり、どこで計算ミスしたかまでわかるという素晴らしい方法なのです。なので、ミスが発見されても慌てることなく淡々と修正すればいいのであります。

ちなみに指数関数、三角関数は無単位(無次元量)です。

例えば

v=\sqrt{\frac{m^2gl(x+l)\sinθ}{(M+m)Mx}}

は、sinがくっついていますが、単位に影響を与えません

e^a

 のような指数関数も無次元量です

さらに、三角関数、指数関数の中身も無次元量です

例えば

\cos\omega t  という式がでてきたら \omega t は無次元量 角度の単位ラジアンは無次元量として扱います

e^{\frac{t}{τ}} という式が出てきたら \frac{t}{τ}  は無次元量

です

 

②極限をとる

求めた式の文字の一つを無限にしてみてください(無限の極限をとる)

例えば

斜方投射の水平到達距離xを計算して以下のように求まったとします

x=\frac{v^2\sin2θ}{g}

vは投げる初速、θは角度 gは重力加速度です

f:id:vasewell:20200219214917j:plain

このような状況です

この時、vを無限に大きくする場合を考えてみましょう

常識的に考えて、xも無限に大きくなりそうですよね

実際式もそうなっています

gを無限に大きくしたら?重力がめっちゃ大きくなるから全然飛ばなくなって、xゼロになるはずだー→実際式を見るとそうなってますね そうすると

x=\frac{v^2\sin2θ}{g}

の式は多分計算ミスしてなさそうだ、と思えます

③代入する

x=\frac{v^2\sin2θ}{g}

についてもっとチェックしてみましょう

v=0 の場合や

g=0 の場合や

θ=0 の場合や

θ=\frac{\pi}{2}

の場合を考えてみてください

v=0 の時投げないってことだから飛ばないからx=0のはずだなー

g=0 の時重力がないから無限に飛ぶんじゃないかなー

θ=0 の時地面と水平に投げるから投げた瞬間地面に落ちてる→x=0のはず

θ=\frac{\pi}{2}の時真上に投げるから横には全然進まなくてx=0になるはずだろ

という風に考えると、式が確かに直感と一致していることを確かめられると思います

ここまでくると、式が正しい可能性がかなり高い

v=0 や

g=0 や

θ=0 や

θ=\frac{\pi}{2} (直角)の場合など

0や無限、直角など、極端なケース、特別なケースについて代入してみると確認できる

③定性的に考える

x=\frac{v^2\sin2θ}{g}

についてさらにチェックできます

vがだんだん大きくなると、どうなるか?

θが0からπまで大きくなるとどうなるか?

gがゼロからだんだん大きくなるとどうなるか?

と考えてください

vがだんだん大きくなると、どうなるか? →xが大きくなるはずだ→確かに式はそうなっている

θが0からπ/2まで大きくなるとどうなるか?→途中までxは大きくなるけど、いい感じの角度で一番遠くまで飛ぶよな、それ以上角度を高くすると前に飛ばなくなるよな→確かにそうなってる

gがゼロからだんだん大きくなるとどうなるか?→xはだんだん小さくなるはずだ→確かにそうなっている

と確認できます

このように定性的に、大小関係を見ることで、さらに精密な計算チェックが行えます

④別解を考える

全く別の計算法で同じ答えが出たら、その答えは正しい確率が非常に高いことになります

例えば運動方程式を解くやり方と、エネルギー保存を使うやり方の2通りで計算するなど

この方法は、時間的に余裕のあるタイプの試験で非常に効果的です

⑤概算する

数値計算を要求されることがあります

例えば、

\frac{4.121*10^8*3.01}{2.11*10^2}

という計算をする時

\frac{4*10^8*3}{2*10^2}

と近似して、だいたい6*10^6ぐらいになることを確認するという方法があります

まとめ

①単位確認

②極限をとる

③定性的に考える

④別解を考える

⑤概算する

以上の方法はステマチックにミスを発見できるので、単なる見直しという、何をしているのか曖昧な確認法とは雲泥の差と言えるでしょう

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物理の計算ミス防止方法、計算ミスチェック『完全保存版』【ケアレスミスがなくなる】

物理の計算には数学より多くの計算ミスチェック法があり、知っているだけで不注意な方もかなりリスクを軽減させることができます。しかし、学校、塾、予備校によって教えてくれるところと教えてくれないところがあり、情報格差が生じてしまっています。

そこで私はここに私が知っていることをまとめ、公開します。

ある程度すでに知っている方も、一度網羅的に確認しておくことをお勧めします。ルーズリーフにまとめてファイルしておくなどしてもいいと思います。私はそうしていました。

長いので、先に一度まとめを示しておきます

まとめ

①単位確認

②極限をとる

③定性的に考える

④別解を考える

⑤概算する

①単位確認

物理の正しい式の両辺の単位は必ず一致しています

例えば、時間tを求めた結果、

v=\sqrt{\frac{m^2gl(x+l)}{(M+m)Mx}}

という複雑な式になってうろたえるかもしれません

ですが、右辺の単位は時間の単位と同じになっているので、見かけよりかなり自信を持てます (分母分子のkg^2はキャンセルされて、mもキャンセルされv=\sqrt{gl}と同じ単位になるから、m/sの単位になる)

逆に

v=\sqrt{\frac{m^2l(x+l)}{(M+m)Mx}} (gが抜けている)

となった時は、単位がおかしいので、ミスが見逃されることはありません

しかも、途中式一本一本についても単位を確認すれば、どこで単位が合わなくなったのかわかり、どこで計算ミスしたかまでわかるという素晴らしい方法なのです。なので、ミスが発見されても慌てることなく淡々と修正すればいいのであります。

ちなみに指数関数、三角関数は無単位(無次元量)です。

例えば

v=\sqrt{\frac{m^2gl(x+l)\sinθ}{(M+m)Mx}}

は、sinがくっついていますが、単位に影響を与えません

e^a

 のような指数関数も無次元量です

さらに、三角関数、指数関数の中身も無次元量です

例えば

\cos\omega t  という式がでてきたら \omega t は無次元量 角度の単位ラジアンは無次元量として扱います

e^{\frac{t}{τ}} という式が出てきたら \frac{t}{τ}  は無次元量

です

 

②極限をとる

求めた式の文字の一つを無限にしてみてください(無限の極限をとる)

例えば

斜方投射の水平到達距離xを計算して以下のように求まったとします

x=\frac{v^2\sin2θ}{g}

vは投げる初速、θは角度 gは重力加速度です

f:id:vasewell:20200219214917j:plain

このような状況です

この時、vを無限に大きくする場合を考えてみましょう

常識的に考えて、xも無限に大きくなりそうですよね

実際式もそうなっています

gを無限に大きくしたら?重力がめっちゃ大きくなるから全然飛ばなくなって、xゼロになるはずだー→実際式を見るとそうなってますね そうすると

x=\frac{v^2\sin2θ}{g}

の式は多分計算ミスしてなさそうだ、と思えます

③代入する

x=\frac{v^2\sin2θ}{g}

についてもっとチェックしてみましょう

v=0 の場合や

g=0 の場合や

θ=0 の場合や

θ=\frac{\pi}{2}

の場合を考えてみてください

v=0 の時投げないってことだから飛ばないからx=0のはずだなー

g=0 の時重力がないから無限に飛ぶんじゃないかなー

θ=0 の時地面と水平に投げるから投げた瞬間地面に落ちてる→x=0のはず

θ=\frac{\pi}{2}の時真上に投げるから横には全然進まなくてx=0になるはずだろ

という風に考えると、式が確かに直感と一致していることを確かめられると思います

ここまでくると、式が正しい可能性がかなり高い

v=0 や

g=0 や

θ=0 や

θ=\frac{\pi}{2} (直角)の場合など

0や無限、直角など、極端なケース、特別なケースについて代入してみると確認できる

③定性的に考える

x=\frac{v^2\sin2θ}{g}

についてさらにチェックできます

vがだんだん大きくなると、どうなるか?

θが0からπまで大きくなるとどうなるか?

gがゼロからだんだん大きくなるとどうなるか?

と考えてください

vがだんだん大きくなると、どうなるか? →xが大きくなるはずだ→確かに式はそうなっている

θが0からπ/2まで大きくなるとどうなるか?→途中までxは大きくなるけど、いい感じの角度で一番遠くまで飛ぶよな、それ以上角度を高くすると前に飛ばなくなるよな→確かにそうなってる

gがゼロからだんだん大きくなるとどうなるか?→xはだんだん小さくなるはずだ→確かにそうなっている

と確認できます

このように定性的に、大小関係を見ることで、さらに精密な計算チェックが行えます

④別解を考える

全く別の計算法で同じ答えが出たら、その答えは正しい確率が非常に高いことになります

例えば運動方程式を解くやり方と、エネルギー保存を使うやり方の2通りで計算するなど

この方法は、時間的に余裕のあるタイプの試験で非常に効果的です

⑤概算する

数値計算を要求されることがあります

例えば、

\frac{4.121*10^8*3.01}{2.11*10^2}

という計算をする時

\frac{4*10^8*3}{2*10^2}

と近似して、だいたい6*10^6ぐらいになることを確認するという方法があります

まとめ

①単位確認

②極限をとる

③定性的に考える

④別解を考える

⑤概算する

以上の方法はステマチックにミスを発見できるので、単なる見直しという、何をしているのか曖昧な確認法とは雲泥の差と言えるでしょう

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指数関数とは?(指数関数の意味)①

先日、関数とはなにかについて書きました

関数とはなにか?(関数の意味) - 大学入試徹底攻略

 指数関数とは、その名の通り関数の一種です

とても大切な関数ですが、いろいろな理解の仕方があります

そこで、①、②、③の三通りの説明を試みました

まずは①だけ理解するので十分です

①冪乗を進化させる考え方

 指数関数はべき乗を進化させたような関数と見ることができます

べき乗とは、例えば

2^3=2\times2\times2

というように、同じ数を何度もかける計算をいいます

中学数学で登場するかと思います

a^n=a\times a\times… (aをn回かける)

というふうに計算します

この定義では、nは自然数でなければ意味がわからなくなります

 ところが、nが自然数じゃなくても、例えばn=\sqrt{3}

などでも計算できるようにできるのです(実数全体で定義できる)

そのために、べき乗を指数関数に進化(拡張といったりする)させます

 a^x の、xが有理数の時をまず考えます

xが正の時、自然数m、nを用いてx=\frac{m}{n}と置き、a^x=a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}

と定義します

xが負の時、自然数m、nを用いてx=-\frac{m}{n}と置き、a^x=a^\frac{-m}{n}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

と定義します そうすると指数法則が成り立つようになります

 次に、xが無理数の時を考えます

例えば x=\sqrt{2}=1.41421...の時、

a^x=a^\sqrt{2}の値はどのような数になるでしょうか?a^{1.4},a^{1.41},a^{1.414},a^{1.4142},a^{1.41421}...という数の列を考えます

この一つ一つは、aの肩に乗っている数が有限小数、すなわち有理数なので、すでに定義されていますね

a^{1.4},a^{1.41},a^{1.414},a^{1.4142},a^{1.41421}...

は、少しずつa^x=a^\sqrt{2}に近づいて行っていることがわかると思います

この無限に近づいた先をa^x=a^\sqrt{2}と定義します

 このような定義は、教科書にのっている定義なのでチェックしておいてください

この定義は、無限に近づいた先なんて本当にあるのか?などの疑問を生じさせます

②はそのようなモヤモヤ感をある程度解消させるものになります

ですが、②は別の記事にします

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物理の勉強の方法(目標)

今、高校二年生の理系の方はちょうど理科の勉強に本腰をいれようとしている方もいらっしゃると思います

そこで、物理の受験勉強における目標、全般的な勉強法について説明します

物理の勉強では以下のことを最終的に達成するイメージを持つと良いです

①他の法則から導けない法則=原理を理解して覚える

②原理から導ける法則や公式については、いつでも原理から導出できるようにした上で理解し、なおかつ導かなくてもすぐ使えるように暗記する

③問題に対する解法を、あくまで原理や法則の適応の仕方の一種に過ぎないものとして理解した上で、ある程度覚えていく(そんなに多くない)

④一般的に使える公式ではないが、非常に有名な現象の結果は、計算せずとも言えるようになるべく暗記してしまう=常識にする(もちろん、現象を理解して法則から結果を導き説明できるようになった上で)

⑤ ①〜④の結果として、問題の物理的な理解はあまり集中力を使わずにできるようになり、代わりに問題をいかに楽そうに解くかということに集中力を使えるようになる

⑤まで行けば、相当な得点力がついていることになります

理解という言葉を多用してしまいましたが、ここに少し注意があります

原理や法則の理解については、式を数学的にちゃんと抑えるということだけでなく、自分の直感とその法則が合っているかということを感じ取ってみてください

例えばばねの力の法則、フックの法則

F=-kx

を見たときに、現実のバネを想像してください

伸ばせば伸ばすほど益々力が強くなるということをイメージできると思います 式がその直感と一致していることを実感してみてください 

話は変わりますが、物理の計算では、数学よりも計算ミスのチェック法がたくさんあります 

vasewell.hatenablog.com

 計算ミスが多い方は参考になると思いますし、そうでない方も、面白いと思います