大学入試徹底攻略

物理や数学の入試問題の解説をします

物理の計算ミス防止方法、計算ミスチェック『完全保存版』【ケアレスミスがなくなる】

物理の計算には数学より多くの計算ミスチェック法があり、知っているだけで不注意な方もかなりリスクを軽減させることができます。しかし、学校、塾、予備校によって教えてくれるところと教えてくれないところがあり、情報格差が生じてしまっています。

そこで私はここに私が知っていることをまとめ、公開します。

ある程度すでに知っている方も、一度網羅的に確認しておくことをお勧めします。ルーズリーフにまとめてファイルしておくなどしてもいいと思います。私はそうしていました。

長いので、先に一度まとめを示しておきます

まとめ

①単位確認

②極限をとる

③定性的に考える

④別解を考える

⑤概算する

①単位確認

物理の正しい式の両辺の単位は必ず一致しています

例えば、時間tを求めた結果、

v=\sqrt{\frac{m^2gl(x+l)}{(M+m)Mx}}

という複雑な式になってうろたえるかもしれません

ですが、右辺の単位は時間の単位と同じになっているので、見かけよりかなり自信を持てます (分母分子のkg^2はキャンセルされて、mもキャンセルされv=\sqrt{gl}と同じ単位になるから、m/sの単位になる)

逆に

v=\sqrt{\frac{m^2l(x+l)}{(M+m)Mx}} (gが抜けている)

となった時は、単位がおかしいので、ミスが見逃されることはありません

しかも、途中式一本一本についても単位を確認すれば、どこで単位が合わなくなったのかわかり、どこで計算ミスしたかまでわかるという素晴らしい方法なのです。なので、ミスが発見されても慌てることなく淡々と修正すればいいのであります。

ちなみに指数関数、三角関数は無単位(無次元量)です。

例えば

v=\sqrt{\frac{m^2gl(x+l)\sinθ}{(M+m)Mx}}

は、sinがくっついていますが、単位に影響を与えません

e^a

 のような指数関数も無次元量です

さらに、三角関数、指数関数の中身も無次元量です

例えば

\cos\omega t  という式がでてきたら \omega t は無次元量 角度の単位ラジアンは無次元量として扱います

e^{\frac{t}{τ}} という式が出てきたら \frac{t}{τ}  は無次元量

です

 

②極限をとる

求めた式の文字の一つを無限にしてみてください(無限の極限をとる)

例えば

斜方投射の水平到達距離xを計算して以下のように求まったとします

x=\frac{v^2\sin2θ}{g}

vは投げる初速、θは角度 gは重力加速度です

f:id:vasewell:20200219214917j:plain

このような状況です

この時、vを無限に大きくする場合を考えてみましょう

常識的に考えて、xも無限に大きくなりそうですよね

実際式もそうなっています

gを無限に大きくしたら?重力がめっちゃ大きくなるから全然飛ばなくなって、xゼロになるはずだー→実際式を見るとそうなってますね そうすると

x=\frac{v^2\sin2θ}{g}

の式は多分計算ミスしてなさそうだ、と思えます

③代入する

x=\frac{v^2\sin2θ}{g}

についてもっとチェックしてみましょう

v=0 の場合や

g=0 の場合や

θ=0 の場合や

θ=\frac{\pi}{2}

の場合を考えてみてください

v=0 の時投げないってことだから飛ばないからx=0のはずだなー

g=0 の時重力がないから無限に飛ぶんじゃないかなー

θ=0 の時地面と水平に投げるから投げた瞬間地面に落ちてる→x=0のはず

θ=\frac{\pi}{2}の時真上に投げるから横には全然進まなくてx=0になるはずだろ

という風に考えると、式が確かに直感と一致していることを確かめられると思います

ここまでくると、式が正しい可能性がかなり高い

v=0 や

g=0 や

θ=0 や

θ=\frac{\pi}{2} (直角)の場合など

0や無限、直角など、極端なケース、特別なケースについて代入してみると確認できる

③定性的に考える

x=\frac{v^2\sin2θ}{g}

についてさらにチェックできます

vがだんだん大きくなると、どうなるか?

θが0からπまで大きくなるとどうなるか?

gがゼロからだんだん大きくなるとどうなるか?

と考えてください

vがだんだん大きくなると、どうなるか? →xが大きくなるはずだ→確かに式はそうなっている

θが0からπ/2まで大きくなるとどうなるか?→途中までxは大きくなるけど、いい感じの角度で一番遠くまで飛ぶよな、それ以上角度を高くすると前に飛ばなくなるよな→確かにそうなってる

gがゼロからだんだん大きくなるとどうなるか?→xはだんだん小さくなるはずだ→確かにそうなっている

と確認できます

このように定性的に、大小関係を見ることで、さらに精密な計算チェックが行えます

④別解を考える

全く別の計算法で同じ答えが出たら、その答えは正しい確率が非常に高いことになります

例えば運動方程式を解くやり方と、エネルギー保存を使うやり方の2通りで計算するなど

この方法は、時間的に余裕のあるタイプの試験で非常に効果的です

⑤概算する

数値計算を要求されることがあります

例えば、

\frac{4.121*10^8*3.01}{2.11*10^2}

という計算をする時

\frac{4*10^8*3}{2*10^2}

と近似して、だいたい6*10^6ぐらいになることを確認するという方法があります

まとめ

①単位確認

②極限をとる

③定性的に考える

④別解を考える

⑤概算する

以上の方法はステマチックにミスを発見できるので、単なる見直しという、何をしているのか曖昧な確認法とは雲泥の差と言えるでしょう

にほんブログ村 受験ブログへ

にほんブログ村

微分とは何か(一次近似)

微分とは何かについて、全くわからないと言う人だけでなく、計算はある程度できるがいまいちしっくり来てない人もいるかもしれません

そんな人にとってこの記事は有益でありましょう

逆に、当たり前のように思っている高校生もたくさんいると思います

そんな人でも、微分とは何かについて、複数の説明の仕方を知っておくのは有益だと思います

いろんな説明をするので、微分が今全くわからない人でも自分にとってわかりやすい説明があると思います

また、物理を勉強する人は物理学において大変重要な概念である一次近似との関連を理解しておくことが大切です 物理で受験する方は③、④の考え方をできるだけ理解してください

また、厳密な定義だけでなくときに感覚的な理解も大切にしてほしいと思います

感覚的な理解は、それだけでは不十分ですが、使いこなす上で強力な武器になります

 

まず大前提として、微分は関数に対して定義されるものです

関数とは何かについてはこちら↓

以下、考える関数をfとします

①教科書的定義

微分係数とは→導関数とは→微分とは という展開です

微分係数の定義

 関数fのx=aにおける微分係数は、f’(a)と書き、

 \displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

 この式の説明をします まずlimの中身だけに注目してください

 これは下の図で説明できます

f:id:vasewell:20200227222119j:plain

グラフと赤い直線の交点は(a,f(a))(a+h,f(a+h))ここから赤い直線の傾きがlimの中身だとわかる

この図の赤い直線の傾きがlimの中身であることを確認してください

 この図のhを0にギリギリまで近づけたときの赤い直線の傾きがこの式の値です

導関数の定義

 関数fから、導関数f’という新しい関数を作り出す

 ただし導関数f’は、xを入れると関数fのxにおける微分係数を出す関数(箱)である

 (つまり、\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

微分とは? 

 fから導関数f’を求めることをfを微分するという

②接線の傾き(直感的説明)

 グラフy=f(x)の曲線の形の針金を想像してください

 その針金のx=aの点(a,f(a))のところに定規をあてます

 すると、その定規が接線となります

f:id:vasewell:20200227222539j:plain

灰色の曲線がグラフであり針金、黄色い直線が定規であり接線  接点は(a,f(a))

 この接線の傾きをf’(a)とあらわし、fのx=aにおける微分係数という

 f’を新しい関数とみなしこれをfの導関数という

 f’をもとめることをfを微分するという

③直線近似

 グラフy=f(x)の一点(a,f(a))付近に注目する

 そこを無限に拡大すると直線に見えてくるので、この直線の傾きをf’(a)とする

 ↓たとえばこんな感じで拡大する

f:id:vasewell:20200227222132j:plain

f:id:vasewell:20200227222931j:plain

f:id:vasewell:20200227222949j:plain

f:id:vasewell:20200227223009j:plain

↑ここまでくると直線と見分けがつかなくなる

f’(a)がこの傾きとなる

f’(a)のことをx=aにおけるfの微分係数といい、f’をfの導関数という

fからf’を求めることをfを微分するという

④一次近似(③と本質的に同じ)

 グラフy=f(x)の一点(x,f(x))付近に注目する 

 xから微小なdxだけグラフ上でずれることを考える(xからx+dxにずれる)

 このとき、f(x)もf(x+dx)に変化する

 つまり、点P(x,f(x))からP'(x+dx,f(x+dx))に変化する

 この時,y座標の変化はf(x+dx)-f(x)なので(これをdf(x)と表す) そして

 df(x)=f(x+dx)-f(x)

 を考えます この変化df(x)も微小です

 dx=0の時、変化しないということなので、df(x)=0

 よってdf(x)=dx*(xとdxの関数)

 と考えられます

 (xとdxの関数)の部分の、xを定数、dxを変数と見たときの定数項(xのみに依存する項)をf’(x)とします 定数項以外は、dxが微小なので無視します(*)

すると

  df(x)=f'(x)dx

とかけます つまり、df(x)がdxの一次式になる (一次近似)

だから、この一次式の係数微分係数f’(x)という

実は、

 df(x)=f'(x)dx

を整理して

 \frac{df(x)}{dx}=f'(x)

と書いたのがライプニッツの記法だったのです

この観点からは、微分とは一次近似の係数を求めることだ、といえるでしょう

 ちなみに もし(*)のところで定数項だけでなくdxの一次の項まで取ると

 df(x)=f'(x)dx+?*dx^2

 と二次の近似になってしまいます df(x)とdxは微小ですが、dx^2は微小の微小なのでdxやdf(x)と比較してもさらに微小なので無視できるという考え方になります

一次近似というのが、③で言う所のグラフを直線と見做すことに相当します(直線は一次関数ですよね)

注意点は、近似という名前がついていますが、計算するごとに違った値になるというような、実験誤差のような誤差があるわけではないということです

また、どの考え方で計算しても同じ計算結果となります

ja.wikipedia.org

ちなみにウィキペディアのこの記事はよくできており、おすすめです。

(ですが、微分が全くわからないと言う方には不向きかもしれません)

次回、これらの考え方が結局同じものであるということや微分の公式の導出、具体的な計算方法をやります

にほんブログ村 受験ブログへ

にほんブログ村

 

 

本番直前 なにをすべき?【大学受験】

受験本番直前で何をすべきでしょうか?勉強内容については人それぞれですが、一般的に言えることとして

・前日しっかり眠れるように数日前から睡眠サイクルを整える

・前日や当日食べる、お腹を壊すリスクが低いような食べ物を決めておく

・当日、試験開始前や休み時間に何をするか決めておく

 例えば、トイレに行く

     鉛筆を削る

     シャーペンの芯を補充する

     時計が壊れていないか確認する

   など、勉強以外も大切です

・当日、交通機関の運行情報を起床後すぐチェックする

などは多くの人にとって合理的だと思います

一方、メンタル面では、追い込まれた方が力を発揮する人や、逆に練習だと思ってやった方がいい人もいて、一概には言えません

ですが、個人的な経験から言うと、今までの努力を振り返って自信を強めると言うよりも、むしろ冷静さというかクールさというか、理性と言うか、そういう冷めた視点を持てたほうが試験の内容そのものに集中できるような気がします そもそも、あまり余計なことを考えないようにするといいと思います(無意識でも何か別のことを考えると、そこに認識能力を使ってしまうような気がします)

そうはいえ、これも人それぞれでしょう

試験中のメンタルとしては冷静さに加えて、諦めないことがとても大切です

どんなに焦っても構わないから、決して負けを認めないでください これはほとんどの人にとって得だと思います

合格祈願🌸

にほんブログ村 受験ブログへ

にほんブログ村