指数関数とは？（指数関数の意味）①

先日、関数とはなにかについて書きました

　指数関数とは、その名の通り関数の一種です

とても大切な関数ですが、いろいろな理解の仕方があります

そこで、①、②、③の三通りの説明を試みました

まずは①だけ理解するので十分です

①冪乗を進化させる考え方

　指数関数はべき乗を進化させたような関数と見ることができます

べき乗とは、例えば

$2^3=2\times2\times2$

というように、同じ数を何度もかける計算をいいます

中学数学で登場するかと思います

$a^n=a\times a\times…$ (aをn回かける)

というふうに計算します

この定義では、nは自然数でなければ意味がわからなくなります

　ところが、nが自然数じゃなくても、例えば $n=\sqrt{3}$

などでも計算できるようにできるのです(実数全体で定義できる)

そのために、べき乗を指数関数に進化(拡張といったりする)させます

　 $a^x$ 　の、xが有理数の時をまず考えます

xが正の時、自然数m、nを用いて $x=\frac{m}{n}$ と置き、 $a^x=a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$

と定義します

xが負の時、自然数m、nを用いて $x=-\frac{m}{n}$ と置き、 $a^x=a^\frac{-m}{n}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

と定義します　そうすると指数法則が成り立つようになります

　次に、xが無理数の時を考えます

例えば $x=\sqrt{2}=1.41421...$ の時、

$a^x=a^\sqrt{2}$ の値はどのような数になるでしょうか？ $a^{1.4},a^{1.41},a^{1.414},a^{1.4142},a^{1.41421}...$ という数の列を考えます

この一つ一つは、aの肩に乗っている数が有限小数、すなわち有理数なので、すでに定義されていますね

$a^{1.4},a^{1.41},a^{1.414},a^{1.4142},a^{1.41421}...$

は、少しずつ $a^x=a^\sqrt{2}$ に近づいて行っていることがわかると思います

この無限に近づいた先を $a^x=a^\sqrt{2}$ と定義します

　このような定義は、教科書にのっている定義なのでチェックしておいてください

この定義は、無限に近づいた先なんて本当にあるのか？などの疑問を生じさせます

②はそのようなモヤモヤ感をある程度解消させるものになります

ですが、②は別の記事にします