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【覚えてる?】和積の公式の覚え方、導き方、証明【1分で復元】

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 三角関数の和積の公式の思い出し方を紹介します

和積の公式は覚えにくいし、導出に積和の公式を使うから面倒と思ってませんか?

 ところが、和積の公式を忘れた時、加法定理だけ使ってすぐその場で導出できる方法があるのです。
 つまり、実際に、積和の公式を使わずに和積の公式を導出できるのです。

 ただし、この無意味そうに見える式を覚えてください

A=\frac{A+B}{2}+\frac{A-B}{2}

B=\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}

実は、これが和積公式の最大の鍵です

これを変換Xと名付けます

A,Bがどんな値でも当然成り立ちます

ここから四つの和積公式

sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}

sinA-sinB=2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}

cosA+cosB=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}

cosA-cosB=-2sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}

を導きましょう

 

第一式は、

sinA+sinB

変換Xを代入して、

sinA+sinB\\=sin(\frac{A+B}{2}+\frac{A-B}{2})+sin(\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2})

あとは右辺のsin二つに加法定理を用いるだけ

sin(\frac{A+B}{2}+\frac{A-B}{2})+sin(\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2})\\=sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}+{sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}}\\=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}

と自動的に導けました

第二式以降も全く同様に変換Xを代入するだけで、

sinA-sinB\\=sin(\frac{A+B}{2}+\frac{A-B}{2})-sin(\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2})\\=sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}-sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}\\=2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}

cosA+cosB\\=cos(\frac{A+B}{2}+\frac{A-B}{2})+cos(\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2})\\=cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}\\=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}

cosA-cosB\\=cos(\frac{A+B}{2}+\frac{A-B}{2})-cos(\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2})\\=cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}\\=-2sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}

全て導出の流れは同じです

まとめ

和積公式の導出方法は、

変換Xを代入

 A=\frac{A+B}{2}+\frac{A-B}{2}

 B=\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}

②加法定理を二回使う

 

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