重心系における運動量の和はゼロ【力学】

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重心系における運動量の和はゼロであるという定理を証明します

n個の物体の系をA、Aの要素をj=1,2,...nとする

それぞれの物体の質量、位置、速度、重心系から見た速度、全質量を $m,\vec{x_j},\vec{v_j},\vec{v_{j-in}},M$ とする

重心の位置ベクトルは、定義より、

$\vec{x_G}=\frac{\displaystyle \sum_{j∈A}m_j\vec{x_j}}{M}$

故に重心速度は

$\vec{v_G}=\frac{d\vec{x_G}}{dt}=\frac{\displaystyle \sum_{j∈A}m_j\vec{v_j}}{M}$

故に重心系から見た全運動量は

$\vec{P_G}\\=\displaystyle \sum_{j∈A}m_j\vec{v_{j-in}}\\=\displaystyle \sum_{j∈A}m_j(\vec{v_j}-\vec{v_G})\\=\displaystyle \sum_{j∈A}m_j\vec{v_j}-\displaystyle \sum_{j∈A}m_j\vec{v_G}\\=\displaystyle \sum_{j∈A}m_j\vec{v_j}-\displaystyle \sum_{j∈A}m_j\frac{\displaystyle \sum_{k∈A}m_k\vec{v_k}}{M}\\=\displaystyle \sum_{j∈A}m_j\vec{v_j}-\displaystyle \sum_{k∈A}m_k\vec{v_k}\\=\vec{0}$

となる

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重心系における運動量の和はゼロ【力学】