仕事の3つの定義【仕事率から定義する方法】【力学】
みなさん、仕事の定義を言えますか?
...
いえ、「お仕事」の定義ではなく、物理学における、仕事の定義です笑
それはともかく、まず第一のポイントとして、仕事とは、力が物体に対してある一定時間(基本的に、時刻ではない)にするものです
力が主語なんですね 物体ではないです
例えば、重力、弾性力、垂直抗力、摩擦力などなどです
その前提で、以下の三つの定義を抑えておきましょう
高校の教科書流の定義
まず、高校物理の教科書流の定義は次のようになります
物体に一定の力Fを加え、力の向きに物体がxだけまっすぐすすんだとき、その力がした仕事はである
この定義は、当然不十分です
力の向きが物体の進む向きと同じであるという制約があり、しかも力が一定であるという制約があるからです
普通の定義
本来の定義は以下のようなものです
力が物体に加わっている
微小時間t→t+dtにおいて物体の位置が
と変化したとき、この微小時間に力がした微小仕事の定義は
ところが、これは高校数学の書き方ではありません
微小変化の一次近似を理解していればわかりますし、理解しておくべきなのですが、もう一つ問題があります。
微小でない仕事は、これを積分しなければなりませんので
右辺はなんでしょう?これは線積分といって、完全に高校範囲を逸脱してしまいます
仕事率から先に定義する方法
そこで、もう一つの定義方法を紹介します
これは高校数学に収まる方法です
まず仕事率を先に定義してから仕事を定義します
力がする仕事率とは、物体の速度を用いて
と定義され、時間に力がする仕事Wは
と定義される
これなら、完全に高校数学の範囲内ですね
力が今までしてきた仕事をW(t)としましょう
すると、
となることは定義の両辺を微分すればわかります
故に
ですが、
を代入して
となり、本当の定義と一致します。
dtとかdxを分数みたいに扱っていいのか?については一次近似の記事を参照してください
これが、教科書の定義の場合を含んでいることを示しましょう
教科書の場合は直線運動なので、位置ベクトル,速度ベクトルも力のベクトルもx成分のみ持つとすれば良いです
すると内積もただの積になります
すると、 置換積分の公式より、力がx座標によって定まる場合
...①
F(x)が特に一定Fの時、
となり、確かに教科書の定義と一致します
教科書の定義より一般的な①の形も覚えておきましょう
まとめ
- 仕事の定義は教科書流、普通の定義、仕事率から定義する方法の3つあり、普通の定義が本来の定義だが、微小でない仕事を求めるためには線積分が必要
- 仕事率から定義すると、一応高校数学の範囲内におさまる
- 全部の定義を理解しておくことが必要
*1:Fとxは向き付きなので、向きが逆の時は負になる