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崩壊の時間発展と半減期【原子物理】

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原子核などが崩壊するときの寿命と半減期についてのまとめです。

崩壊数の微分方程式

原子核などの崩壊する粒子の数は、時刻tの時N(t)と表すことができます。

 

徐々に崩壊するので、数が段々と減っていき、N(t)は時間と共に小さくなることになります。

微小時間dtの間に崩壊する数は、N(t)の変化なので、

-dN=N(t)-N(t+dt)

と書くことができます。これはdtに比例しているので、

-\frac{dN}{dt}

が崩壊する速さであると言えるでしょう。

 

ここでは、崩壊する確率が一定であると仮定します。

すると、今存在する粒子の数に比例する数の粒子が崩壊することになります。

つまり、崩壊の速さとNが比例することになる。そこで比例定数を\frac{1}{\tau}\gt 0と表記すると

-\frac{dN}{dt}=\frac{N}{\tau}

です。\tau\gt 0は時間の次元を持つ定数です。これが、崩壊を記述する微分方程式です。

 

崩壊の時間発展

この

-\frac{dN}{dt}=\frac{N}{\tau}

を解いてみることにします。

-\frac{dN}{N}=\frac{dt}{\tau}

と変形できるので、この両辺を積分すると、

\ln N=-\frac{t}{\tau}+積分定数

両辺の指数関数をとると

N=C\exp(-\frac{t}{\tau})

ただしCはe^積分定数であり、任意の定数です。

N(0)を用いて書き直すと、

N(t)=N(0)\exp(-\frac{t}{\tau})

となります。従って、

N'(t)=-\frac{1}{\tau}N(t)です。

 

寿命と半減期

寿命

定数\tauは寿命と呼ばれます。なぜなら、これが1個の粒子が崩壊するまでの時間の期待値だからです。それを確認しましょう。

1個の粒子がtからt+dtの間に崩壊する微小な確率dProbは、その間の崩壊数-dNが、初期数N(0)に占める割合です。ゆえに

dProb(時刻tに崩壊)\\=\frac{-dN}{N(0)}\\=\frac{-N'(t)dt}{N(0)}=\frac{\frac{1}{\tau}N(t)dt}{N(0)}\\=\frac{1}{\tau}\exp(-\frac{t}{\tau})dt

従って崩壊時刻の期待値<t>は

\lt t\gt\\=\int_0^{\infty}tdProb(時刻tに崩壊)\\=\int_0^{\infty}\frac{t}{\tau}\exp(-\frac{t}{\tau})dt

これは部分積分を使って計算できます。

\int_0^{\infty}\frac{t}{\tau}\exp(-\frac{t}{\tau})dt\\=[-t\exp(-\frac{t}{\tau})-\tau\exp(-\frac{t}{\tau})]_0^{\infty}\\=0-(0-\tau)=\tau

ゆえに

\lt t\gt=\tau

です。だから定数\tauは寿命なのですね。

半減期

N(t)=N(0)\exp(-\frac{t}{\tau})です。ゆえに時刻tとt+Tの数の比は

\frac{N(t+T)}{N(t)}=\exp(-\frac{t+T}{\tau}+\frac{t}{\tau})=\exp(-\frac{T}{\tau})

なので、数の比は、時刻tによらず、時間Tのみによります。

 

この式から、T=\tauの場合、数が1/e倍になります。

 

では、数が半分になるような時間[texT_{1/2}]を求めてみましょう。

\exp(-\frac{T_{1/2}}{\tau})=\frac{1}{2}

が成り立つはずです。両辺のlogを取ると

-\frac{T_{1/2}}{\tau}=\ln(1/2)

よって

T_{1/2}=\tau\ln2

このT_{1/2}を半減期と言います。これは半減期と寿命の関係も表しています。

まとめ