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バネに繋がった重りはなぜ単振動をするのか？【単振動の微分方程式の解法】【力学】

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バネにつながった重りや振り子の運動がなぜ三角関数で表せるのか、つまりなぜ単振動するのか、ということを力学的エネルギー保存則から導きます。

単振動をもたらす力と力学的エネルギー保存則

単振動をもたらす力の確認です。

単振動はフックの法則

F(x)=-kx

の形の力が働く際に起こります。ただしkは正です。また、振動中心はxの原点になるように座標をとることにします。

すると、このような力は保存力であり、位置エネルギーU(x)は

U(x)=\frac{1}{2}kx^2

と書くことができます。

（なぜなら、一次元運動の力学的エネルギー保存の一般則から、F=-U'(x)=-kxとなるので、これは確かにフックの法則のFと一致するから。）

 

単振り子の場合は

k=\frac{g}{L}

と考えれば良いです(ただし振れ幅が微小な場合を考えます)。

 

方程式を解く

フックの法則型の力が働くとき、運動は

x(t)=\sqrt{\frac{2E}{k}}\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t+C)

と書くことができる。ただしEは力学的エネルギーであり、Cは初期条件などで決まる定数。

E=\frac{1}{2}mv(t)^2+\frac{1}{2}kx(t)^2

が力学的エネルギーEの保存則である。これをx-v座標における楕円の式とみなす。つまり、

1=\frac{1}{2E}mv(t)^2+\frac{1}{2E}kx(t)^2

と書き換えると、楕円の式になり、そのパラメータ表示は、

x(t)=\sqrt{\frac{2E}{k}}\cos\theta(t)...①

v(t)=\sqrt{\frac{2E}{m}}\sin\theta(t)...②

さらに、

\frac{dx(t)}{dt}=v(t)

であることから、

-\sqrt{\frac{2E}{k}}\theta'(t)\sin\theta(t)=\sqrt{\frac{2E}{m}}\sin\theta(t)

である。

これを整理すると、

\frac{d\theta}{dt}=\theta'(t)=-\sqrt{\frac{k}{m}}

両辺をtで積分すると、

\int\frac{d\theta}{dt}dt=-\int\sqrt{\frac{k}{m}}dt

\theta(t)=-\sqrt{\frac{k}{m}}t-C

ただしCは積分定数である。これを①に代入することで、単振動の式

x(t)=\sqrt{\frac{2E}{k}}\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t+C)

を得ることができる。

解の形を見ればわかる通り、角振動数は

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}

であり、従って周期は

T=2\pi/\omega=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

である。

 

Cを\pi/2などととることによって、sinで表すような運動もカバーできることに注意してください。

 

x-v座標は物体の状態を表してる座標であると言えます。このような空間を位相空間といいます。ハミルトン力学という形式は、ニュートン力学をそのような位相空間の中の運動であると捉える理論形式ですが、x-vの代わりにx-pを用いることになります。もちろんハミルトン力学は大学の範囲の物理なので、受験生は学ぶ必要がありません。