数列の公式一覧【まとめ】 - 大学入試徹底攻略

数列の公式をまとめたページです

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数学ⅡBの範囲の公式

等差数列

等差数列{ $a_n$ }の公差d、第1項から第n項までの和を $S_n$ 、第k項から第n項までの和を $S_k^n$ とすると、

等比数列{ $a_n$ }の公比をr、第1項から第n項までの和を $S_n$ 、第k項から第n項までの和を $S_k^n$ とすると、

階差数列について

{ $a_n$ } の階差数列を{ $b_n$ } とすると、

$b_n=a_{n+1}-a_n$
$a_n=\displaystyle a_k+\sum_{j=k}^{n-1}{b_j}=\displaystyle a_1+\sum_{j=1}^{n-1}{b_k}$

調和数列

数列{ $\frac{1}{a_n}$ } が等差数列となるとき、{ $a_n$ } を調和数列という

数列の総和について

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a=na$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3=(\frac{1}{2}n(n+1))^2$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}ar^k=ar\frac{1-r^n}{1-r}$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=1-\frac{1}{n+1}$

数列{ $a_n$ }の第1項から第n項までの和を $S_n$ 、第k項から第n項までの和を $S_k^n$ とすると、

漸化式について

$a_1=a, a_{n+1}=a_n+d \Rightarrow a_n=a+(n-1)d$
$a_1=a, a_{n+1}=ra_n+d \Rightarrow a_n=ar^{n-1}$
$a_{n+1}=pa_n+q, α=pα+q\Rightarrow$ { $a_n-α$ }は公比pの等比数列
$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0, α,βはx^2+px+q=0の二解 \\\Rightarrow \{a_{n+1}-αa_n\}は公比βの等比数列かつ\{a_{n+1}-βa_n\}は公比αの等比数列$