受信側と送信側が共に動くドップラー効果の一般公式【波動】【物理】

受信側と送信側が共に動くドップラー効果の公式とその導出です。

１次元上の動きだけではなく、2次元空間や３次元空間内のどんな動きにも対応しています。

しかも送信側の波の周波数が時間変化していても成立します。

時刻tに送信側から発信された波の周波数を $f_{送信}(t)$ とする。

時刻tに送信された波が受信側に到着する時刻を $t_R(t)$ とする。(tに対してtRが一つに定まる場合のみ考える。)

受信側の受け取る波の周波数は $f_{受信}(t_R(t))$ であるとする。

すると、これらの関係は

$f_{受信}(t_R(t))=\frac{f_{送信}(t)}{t_R'(t)}$

である。

時刻tに送信された送信側の波の位相を $\theta_{送信}(t)$ とする。

時刻 $t_R$ に受信された受信側の波の位相を $\theta_{受信}(t_R)$ とする。

時刻tに送信された波は時刻 $t_R$ に受信されるから、

$\theta_{受信}(t_R(t))=\theta_{送信}(t)$ ...①

である。

送信側と受信側双方について、送信/受信する波の振動数は

$\frac{d\theta{受信}(t_R)}{dt_R}=2\pi f_{受信}(t_R)$ ...②

$\frac{d\theta{送信}(t)}{dt}=2\pi f_{送信}(t)$ ...③

である。

あとは数学。

①を②に代入すると、

$\frac{d\theta_{送信}(t)}{dt_R}=\frac{d\theta{受信}(t_R(t)}{dt_R}=2\pi f_{受信}(t_R)$

さらに合成関数の微分を使うと

$2\pi f_{受信}(t_R)=\frac{d\theta_{送信}(t)}{dt_R}=\frac{d\theta_{送信}(t)}{dt}\frac{dt}{dt_R}=\frac{d\theta_{送信}(t)}{dt}\frac{1}{t_R'(t)}$

右辺に③を代入すると、

$2\pi f_{受信}(t_R)=2\pi f_{送信}(t)\frac{1}{t_R'(t)}$

つまり

$f_{受信}(t_R(t))=\frac{f_{送信}(t)}{t_R'(t)}$

この公式により、ドップラー効果の計算、つまり送信側の周波数に対する受信側の周波数の変化は、関数 $t_R(t)$ の微分を求めることに帰着します。

この関数は当然、送信側と受信側の動きと波の速さに依存するわけです。

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