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単スリットの強度分布の導出【積分、ベクトル図による方法】【波動】【物理】

光の干渉 光波 波動 物理

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要約と目次

単スリットの強度分布を導出し、その特徴をまとめました

単スリットの強度分布

幅Dの単スリットに垂直に波長λの平面単色波を入射させる。Dはスリットからスクリーンまでの距離Lに比べて十分小さい。このとき回折角θの回折光の強度I(θ)は

I(θ)=(\dfrac{sin(π\frac{D}{λ}sinθ)}{π\frac{D}{λ}sinθ})^2I(0)...①

特に、回折角が十分小さい時、スクリーンに座標x=Ltanθをとると

I(x)=(\dfrac{sin(π\frac{Dx}{λL})}{π\frac{Dx}{λL}})^2I(0)...②

となり強度分布は例えば下図のようになる 

f:id:vasewell:20210316203908p:plain

単スリットの強度分布。実に美しいグラフ。横軸をsinθとしたときの①のグラフや、横軸をxとしたときの②のグラフはこのような形になる。

導出

上でのべたことを導出します

導出１：積分による導出

f:id:vasewell:20210316211742p:plain

pはスリットの座標、xはスクリーンの座標であり、θと対応する。

上の図のような座標p,xをとる

回折角θを固定して考える。つまり、x=Ltanθにおける波を求める。

角振動数をωとする

p=0から来る波が

Asinωt

と表せるように時刻の原点をとろう

この波とp=pから来る波の経路差は、波の到達点がx=Ltanθであることから、三平方の定理より

\frac{L}{cosθ}-\sqrt{(Ltanθ-p)^2+L^2}\\=\frac{L}{cosθ}(1-(1-2\frac{p}{L}sinθcosθ+(\frac{p}{L})^2cos^2θ)^{\frac{1}{2}})\\≒psinθ

と近似できる

ただし\frac{D}{L}<<1より\frac{p}{L}<<1でもあることを用いた。

故に位相差は

2π\frac{psinθ}{λ}

なので、p=pから来る波は

Asin(ωt-2π\frac{psinθ}{λ})

と表せる

x=Ltanθにおける波は、p=-\frac{D}{2}からp=\frac{D}{2}までの重ね合わせとして求められるから、波φ(θ,t)は

φ(θ,t)\\=\int_{p=-\frac{D}{2}}^{p=\frac{D}{2}}Asin(ωt-2π\frac{psinθ}{λ})dp\\=[-\frac{λ}{2πsinθ}Acos(ωt-2π\frac{psinθ}{λ})]^{p=\frac{D}{2}}_{p=-\frac{D}{2}}\\=\frac{Aλ}{2πsinθ}(cos(ωt-2π\frac{Dsinθ}{2λ})-cos(ωt+2π\frac{Dsinθ}{2λ}))\\=\frac{Aλ}{2πsinθ}2sin(ωt)sin(π\frac{D}{λ}sinθ)

振幅は

\frac{Aλ}{πsinθ}sin(π\frac{D}{λ}sinθ)

であり、原点における振幅は、極限θ→0をとりADとなる

強度は振幅の二乗に比例するので、

I(0)∝A^2D^2

I(θ)∝(\frac{Aλsin(π\frac{D}{λ}sinθ)}{πsinθ})^2

よって

I(θ)=(\dfrac{sin(π\frac{D}{λ}sinθ)}{π\frac{D}{λ}sinθ})^2I(0)

 θが微小である時、x=Ltanθ≒Lsinθと近似して、

I(x)=(\dfrac{sin(π\frac{Dx}{λL})}{π\frac{Dx}{λL}})^2I(0)

となる

 

導出２：よくある導出

強度分布の式は与えないがグラフの概形を書くことができる方法です

 

位相差が

2π\frac{Δpsinθ}{λ} 

なので、全位相差は

Δφ=2π\frac{Dsinθ}{λ}

ゆえにDsinθ=nλのとき、nが自然数ならちょうどn周分の位相が重なり合うことになりる

位相一周分の重なり合いは打ち消されるので、n周分の重ね合わせも打ち消される

nが負の整数の場合も同様なので、結局

Dsinθ=nλ、n=...-2,-1,1,2,...

のところは暗線である

ただしθは直角未満なので{-1}\leq{\frac{nλ}{D}}\lt{1}つまりnの範囲は

{-\frac{D}{λ}}\leq{n}\lt{\frac{D}{λ}}

明線は位相差がない最大の明線θ=０と、暗線の間に存在する

最大の明線とそれ以外の強度の比はどれくらいかを見積もろう

例えば、1<n<2の明線の強度について考えよう

この場合、一周分の位相は打ち消されてしまうので、1<n<2の範囲で考えると、残る光はどんなに多くてもn=2の場合で全体の1/2である。それらも全てが同位相ではないから、振幅の二乗に比例する強度はθ=0の明線の\frac{1}{4}未満であることはすぐにわかる。

だが当然n=2の場合は暗線なので、明線のnはもっと小さい

そこで、n=1.5付近に明戦があると予想すると、打ち消されないでのこる光は\frac{1}{3}なので強度は\frac{1}{9}未満ということになる。

導出３：ベクトル図による導出

もう少し精度のよい方法として、ベクトル図による説明があります

 

p〜p+Δpの微小区間にから来た光を微小なベクトルで表すという方法を用いる

位相差がベクトルの向きで表現される

例えば、

θ=0では、以下のように位相が揃う

f:id:vasewell:20210317180450j:plain

n=0の明線

n=1の場合は一周してベクトルが0になるので暗線になる

f:id:vasewell:20210317180342j:plain

n=１の暗線

n=1.5の場合は以下のようになる

f:id:vasewell:20210317180515j:plain

n=1.5の明線付近

右の一周しているベクトルは合計0であり、左のベクトルの長さ、つまりこの半円の直径だけが光の強度に寄与する

これによって1<n<2における明線の強度を見積もると、n=0に比べてベクトルの本数が\frac{1}{3}になっており、しかも直線ではないので、さらに半円と直径の比\frac{2}{π}倍される。

故に振幅は\frac{2}{3π}倍なので、強度はn=0の約(\frac{2}{3π})^2倍となる

実際は、明線はn=1.5とはずれるのであくまで目安であることに注意

 

強度分布の特徴

I(θ)=(\dfrac{sin(π\frac{D}{λ}sinθ)}{π\frac{D}{λ}sinθ})^2I(0)

を用いて強度分布の特徴を調べてみよう

明線、暗線の位置

暗線の位置は分子=0より、

Dsinθ=nλ、n=...-2,-1,1,2,...

であることがわかる（n=0の場合は分母と分子が0になるので注意）

明線の位置を調べるために、

X=π\frac{D}{λ}sinθ

とおく。Xとθが単調増加な関係なので、

f(X)=\frac{I(θ)}{I(0)}=(\frac{sinX}{X})^2

を調べる*1

f'(X)=\frac{2}{X^3}sinX(XcosX-sinX)

X=0をのぞいてsinX=0が暗線、XcosX-sinX=0つまりX=tanXのとき明線である

明線同士の強度の比

ここから明線のXを求めて代入すれば、明線同士の強度の比が数値的に得られる

例えば、1<n<2の解としてX≒1.43πがあり、これを代入すると

f(1.43π)≒0.048

つまり最大強度の十分の1未満になる

I(θ)=(\dfrac{sin(π\frac{D}{λ}sinθ)}{π\frac{D}{λ}sinθ})^2I(0)

に戻ると、

{I(θ)}\leq{(\dfrac{1}{π\frac{D}{λ}sinθ})^2I(0)}

であるから、具体的にはsinθの逆二乗に比例して強度が小さくなる

回折が起こる条件

明線同士の強度の比を見ると、主にn<1の部分、つまり{\frac{λ}{D}}\lt{sinθ}において明るく、その外側では、X≒1.43πの解をみてもわかる通り、明線であっても中心に比べてかなり暗い

{\frac{λ}{D}}\gt{1}

の場合、どんな角度でもこの条件が成立する

つまり、波長がスリット幅と同程度近くまで大きいと、波は広い範囲に回折することがわかる

一方で、波長がスリット幅に対して微小な時、{\frac{λ}{D}}\lt{sinθ}を満たすθは微小なものに限られ、回折する範囲も微小なものになる。スリット幅に対して波長が十分小さければ、回折は無視することができ、光は直進するとみなせる。

スリット幅が０になる時、つまりスリットが点とみなせる場合のイメージは、スリットが波源になる以下のような図で、回折が極限まで大きい場合を表している

f:id:vasewell:20210321145130p:plain

一方、それとは逆に、スリット幅が非常に大きい場合は、スリットとしての役割を果たさず、単に平面波が素通りしているイメージで、回折は起こらず、波は下図のように直進する

f:id:vasewell:20210321145521p:plain

まとめ 

  • 単スリットの強度分布は

I(θ)=(\dfrac{sin(π\frac{D}{λ}sinθ)}{π\frac{D}{λ}sinθ})^2I(0)

  • 暗線は

Dsinθ=nλ、n=...-2,-1,1,2,...

  • 明線はn=0の場合と、暗線の間
  • n=0の明線に比べてそれ以外の明線は非常に小さい
  • 波長がスリット幅より小さすぎると回折は起こらない
  • 積分やベクトル図によって分析できる

 

*1:fはsinc関数という有名な関数の二乗になっている