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ボーアの量子条件【原子物理】

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ボーアの量子条件について説明します。

ボーアは原子核の周りを回る電子についての理論を作りました。

このボーアの理論をもとに、電子の力学的な量と波動性としての量を全て導出します。

ボーアの理論

ボーアの理論は次のようなものです。

 

量子条件の粒子性による表現

②を電子の粒子としての量で表してみましょう。

円軌道の半径をrとすると、②は、

2\pi r=n\lambda

ドブロイ波長は、

\lambda=\frac{h}{p}

だから、

2\pi r=n\frac{h}{p}

これで、ボーアの量子条件を粒子の運動の条件として表せました。

水素原子の電子軌道とボーア半径

ボーアの量子条件をもとに、水素原子の電子軌道を計算してみましょう。

ボーアの量子条件は

2\pi r=n\frac{h}{p}...①

素電荷をeとすると、水素原子の原子核は陽子一個なので、原子核による電子に対するC力は

F=k\frac{e^2}{r^2}

である。ゆえに、円運動の向心運動方程式は

m\frac{v^2}{r}=k\frac{e^2}{r^2}...②

①、②から運動が定まってしまいます。

半径

そこで、半径rを求めてみましょう。①、②をrについて解くと

r=\frac{h^2}{4\pi^2kme^2}n^2

nは整数なので、n=1,2,3,...の場合のrは連続しておらず、半径は飛び飛びの値をとることになります。以降で見るように、全ての量はnが含まれているため飛び飛びの値を取ります。

n=1の最小の半径をボーア半径と言います。

r_{ボーア}=\frac{h^2}{4\pi^2kme^2}

速度・運動量・ドブロイ波長

速度についても求めると、

v=\frac{2\pi ke^2}{hn}

なので、運動量は

p=mv=\frac{2\pi mke^2}{hn}

ドブロイ波長は

\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h^2n}{2\pi mke^2}

運動エネルギーと全エネルギー

運動エネルギーは

K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{2\pi^2k^2me^4}{h^2n^2}

クーロン力の位置エネルギーは、

E_C=-k\frac{e^2}{r}=-\frac{4\pi^2k^2me^4}{h^2n^2}

よって全エネルギーは

E=K+E_C=-\frac{2\pi^2k^2me^4}{h^2n^2}