理想気体の内部エネルギーを全て取り出す方法【熱力学】【エネルギー】

理想気体の内部エネルギーがnc_VTで表せることが実感できる例題です。

上の図のような状況を考える。物質量nの温度Tの理想気体が容器に入っている。周囲は真空であり、右の壁は可動壁になっていて、滑らかに動く。壁は断熱壁となっている。

可動壁は気体の圧力を受けて右側に移動する。ここで、可動壁は無限に右側に移動できるものとする。

この状況で、可動壁が無限に右側に移動する間、可動壁は気体からどれほどのエネルギーを受け取るか？

可動壁の移動距離をxとする。可動壁の面積をSとすると、可動壁が微小距離dx動く時の圧力がした仕事は

$Fdx=pSdx$

ゆえに求めるエネルギー(仕事)Wは

$W=\int_0^{\infty}Fdx=\int_0^{\infty}pSdx=\int_{V_0}^{\infty}pdV$ ...①

ここで体積Vが

$dV=Sdx$

であることを用いた。ただし、 $V_0$ は初期状態の体積である。

あとはpのV依存性を調べれば良い。

気体は断熱変化しているので、ポアソンの法則が使える。

$pV^{\gamma}=p_0V_0^{\gamma}$

$p=p_0(\frac{V_0}{V})^{\gamma}$

ただしp_0は初期状態の圧力である。

これを①に代入すると、

$W=\int_{V_0}^{\infty}p_0(\frac{V_0}{V})^{\gamma}dV=p_0V_0^{\gamma}[\frac{1}{-\gamma+1}V^{-\gamma+1}]_{V_0}^{\infty}=-p_0V_0\frac{1}{-\gamma+1}$

マイヤーの関係式から $-\gamma+1=-\frac{c_p}{c_V}+1=\frac{-R}{c_V}$ であるから、最下辺は

$W=p_0V_0\frac{c_V}{R}=nc_VT$

ここで理想気体の状態方程式を初期状態について用いた。

これは初期状態の内部エネルギーUである。

この装置によって、理想気体は無限に希薄化され、その内部エネルギーは全て仕事として取り出されることになる。

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