理想気体の内部エネルギー【熱力学】【定積モル比熱】

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単原子分子理想気体
一般の理想気体
- まとめ

理想気体の公式とそこから導かれる事実をまとめました。

単原子分子理想気体

単原子分子理想気体の内部エネルギー

単原子分子理想気体の内部エネルギーは、気体分子運動論の考察から、

$U=\frac{3}{2}nRT=\frac{3}{2}pV$

単原子分子理想気体の熱力学第一法則

単原子分子理想気体について、物質量が変化しない場合は、内部エネルギーの微分が

$dU=\frac{3}{2}nRdT$ ...①

となる。一方で熱力学第一法則から

$dU=dQ_{吸熱}-dW_{した}=dQ_{吸熱}-pdV$

これと①より、

$dQ_{吸熱}=\frac{3}{2}nRdT+pdV$ ...②

ところで、状態方程式の一次近似から

$\frac{dp}{p}+\frac{dV}{V}=\frac{dT}{T}$

$dV=\frac{VdT}{T}-\frac{Vdp}{p}$

これを②に代入すると、

$dQ_{吸熱}=\frac{3}{2}nRdT+p(\frac{VdT}{T}-\frac{Vdp}{p})=\frac{5}{2}nRdT-\frac{Vdp}{p})$ ...③

である。ここで状態方程式 $\frac{pV}{T}=nR$ を使った。

単原子分子理想気体の定積モル比熱

②を見ると、体積が一定でdV=0のときを考えれば、定積熱容量は

$C_V=\frac{3}{2}nR$

だから、定積モル比熱は

$c_V=\frac{3}{2}R$

単原子分子理想気体の定圧モル比熱

③を見ると、定圧変化、つまりdp=0の場合を考えれば、定圧熱容量は

$C_p=\frac{5}{2}nR$

だから、定積モル比熱は

$c_p=\frac{5}{2}R$

一般の理想気体

一般の理想気体のエネルギーは

U=nc_VT

と書くことができます。

まとめ

単原子分子理想気体について

$U=\frac{3}{2}nRT=\frac{3}{2}pV$
$c_V=\frac{3}{2}R$
$c_p=\frac{5}{2}R$

一般の理想気体について

$U=nc_VT$

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