ジュールの第二法則とマイヤーの関係式の証明・導出【熱力学】

(理想気体の)内部エネルギーは物質量が一定の時、温度のみで決まる。

これは仮定として認めることにします。

理想気体の定積モル比熱 $c_V$ と定圧モル比熱 $c_p$ の間には以下の関係が存在する。

$c_p-c_V=R$

(p,V,T)→(p+dp_{定積},V,T+dT_{定積})という変化のもとで、

$c_V=\frac{dQ_{定積、吸熱}}{ndT_{定積}}=\frac{dU_{定積}}{ndT_{定積}}$ ...①

(p,V,T)→(p,V+dV_{定圧},T+dT_{定圧})という変化のもとで、

$c_p=\frac{dQ_{定圧、吸熱}}{ndT_{定圧}}=\frac{dU_{定圧}+pdV_{定圧}}{ndT_{定圧}}$ ...②

この二つの場合について、微小温度変化dT(これ一つだけなら任意の量を選んで固定できる)が等しい

つまり $dT_{定積}=dT_{定圧}$ ...③

と仮定する。すると、ジュールの第二法則より、

$dU_{定圧}=dU_{定積}$ ...④

でなければならない。①、②、③、④を全て使うと、

$c_p-c_V=\frac{pdV_{定圧}}{ndT_{定圧}}$ ...⑤

である。

(p,V,T)→(p,V+dV_{定圧},T+dT_{定圧})という変化のもとで、状態方程式の一次近似より、 $\frac{dV_{定圧}}{V}=\frac{dT_{定圧}}{T}$

これを⑤に代入し、状態方程式を用いると、

$c_p-c_V=\frac{pV}{nT}=R$

を得る。

$c_V=\frac{3}{2}R,c_p=\frac{5}{3}R$ なので確かに当てはまっています。

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