ポアソンの法則の証明【熱力学】【断熱変化】

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ポアソンの法則
証明

ポアソンの法則を証明します。

ポアソンの法則

理想気体は断熱過程において

$pV^{\gamma}$ (つまり $TV^{\gamma-1}$ も)

が一定に保たれる。ここで $\gamma$ は比熱比

$\gamma=\frac{c_p}{c_V}$

である。

証明

断熱変化におけるエネルギー収支から

$dU=-pdV$

また、理想気体のエネルギーは

$U=nc_VT$

と書けるため、

$nc_VdT=dU=-pdV$ ...①

故に、

$d(pV^{\gamma})\\=V^{\gamma}dp+p\gamma V^{\gamma-1}dV\\=V^{\gamma-1}(Vdp+p\gamma dV)\\=V^{\gamma-1}(d(pV)-pdV+p\gamma dV)\\=V^{\gamma-1}(nRdT+nc_VdT+p\gamma dV) (状態方程式と①)\\=V^{\gamma-1}(nc_pdT+p\gamma dV) (マイヤーの関係式)\\=V^{\gamma-1}(nc_pdT-\gamma nc_VdT) (①)\\=0$