送信側のみが動くドップラー効果と衝撃波の発生【波動】【物理】

送信側のみが動く場合のドップラー効果の一般公式についてです。

1次元の場合だけでなく、2次元や3次元空間を動く場合でも成立する公式です。

しかも送信側の波の周波数が時間変化していても成立します。

さらに、この公式をもとに衝撃波の発生についても述べます。

受信者が原点で静止している。

送信者は動いており、時刻tでは原点から距離S(t)だけ離れた位置におり、

速さV（一定）の波を発信する。

受信者が時刻tで観測する周波数を $f_{受信}(t)$ 、送信者が時刻tで送信する波の周波数を $f_{送信}(t)$ とすると、

$f_{受信}(t+\frac{S(t)}{V})=\frac{1}{1+\frac{S'(t)}{V}}f_{送信}(t)$

時刻tで送信された波を受信者が受け取る時刻を $t_R(t)$ とする。まず、この関数を求める。(この関数が定まる場合のみ、ドップラー効果が定義できる。)

波の移動距離は送信時刻における送信者の原点からの距離であり、また送信から受信までの時間と波の速度の積でもある。従って

$S(t)=V(t_R(t)-t)$

ゆえに

$t_R(t)=t+\frac{S(t)}{V}$

$t_R'(t)=1+\frac{S'(t)}{V}$

$f_{受信}(t_R(t))=\frac{f_{送信}(t)}{t_R'(t)}$

にこの二つを代入すると

$f_{受信}(t+\frac{S(t)}{V})=\frac{1}{1+\frac{S'(t)}{V}}f_{送信}(t)$

この公式

$f_{受信}(t+\frac{S(t)}{V})=\frac{1}{1+\frac{S'(t)}{V}}f_{送信}(t)$

の、右辺の分母に注目すると、

$1+\frac{S'(t)}{V}=0$

になると、周波数 $f_{受信}$ が無限大になることになります。

この現象を衝撃波と言います。

送信側の速さが波の速さV(音の場合音速)以下なら、

$1+\frac{S'(t)}{V}=0$

も正になるため、衝撃波は生じません。

もし送信側の速さがV以上なら、その速度の向きによってはこれが0となったり負となったりします。0以下になる衝撃波の場合はもはやこの公式は成立せず、受信者は衝撃波を受けていることになります。

もし送信側の速さがV以上だとしても、その速度の向きによっては

$1+\frac{S'(t)}{V}$

が正になり得ます。しかし、違う位置にいる受信者から見ると結局はこの値は0以下になっていることがわかります。従って送信者の速さがV以上なら、速度がどんな向きだとしても衝撃波を発生させていることになります。

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