受信側のみが動くドップラー効果の公式【波動】【物理】

受信側のみが動く場合のドップラー効果の一般公式についてです。

1次元の場合だけでなく、2次元や3次元空間を動く場合でも成立する公式です。

しかも送信側の波の周波数が時間変化していても成立します。

送信者が原点で静止しており、速さV（一定）の波を発信する。

受信者は動いており、時刻tでは原点から距離R(t)だけ離れた位置にいる。

この時受信者が時刻tで観測する周波数を $f_{受信}(t)$ 、送信者が時刻tで送信する波の周波数を $f_{送信}(t)$ とすると、

$f_{受信}(t)=(1-\frac{R'(t)}{V})f_{送信}(t-\frac{R(t)}{V})$

時刻tで送信された波を受信者が受け取る時刻を $t_R(t)$ とする。まず、この関数を求める。(この関数が定まる場合のみ、ドップラー効果が定義できる。)

波の移動距離は受信時刻における受信者の原点からの距離であり、また送信から受信までの時間と波の速度の積でもある。従って

$R(t_R(t))=V(t_R(t)-t)$ ...①

①は

$t=t_R(t)-\frac{R(t_R(t))}{V}$ ...②

また、①の両辺をtで微分すると、

$R'(t_R(t))t_R'(t)=V(t_R'(t)-1)$

これを $t_R'(t)$ について解くと

$t_R'(t)=\frac{V}{V-R'(t_R(t))}$

$f_{受信}(t_R(t))=\frac{f_{送信}(t)}{t_R'(t)}$

に代入すると

$f_{受信}(t_R(t))=(1-\frac{R'(t_R(t))}{V})f_{送信}(t)$

②をこれに代入すると、

$f_{受信}(t_R(t))=(1-\frac{R'(t_R(t))}{V})f_{送信}(t_R(t)-\frac{R(t_R(t))}{V})$

$t_R(t)$ をtと表記し直せば、

$f_{受信}(t)=(1-\frac{R'(t)}{V})f_{送信}(t-\frac{R(t)}{V})$

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