圧力と力、気体がする仕事、される仕事【熱力学】【仕事】【圧力】

気体の圧力pがある時、気体をかこう壁は、気体から力を受けている。

微小な壁の面積dSが受ける微小な力は、 $dF=pdS$ であり、その向きはdSと垂直で、外向き(気体と逆向き)である。

面積Sのまっすぐな壁の場合は、積分することで力を

$F=\int dF=\int pdS=pS$

と計算できる。(まっすぐな壁ではない場合は、力の向きがバラバラになるので、このような単純な足し合わせにはならない)

気体を囲む壁がゆっくり動いて、気体の体積Vが少しずつ変化する場合を考えます。

気体の変化が微小なdVである時、気体が外界にする微小な仕事 $dW_{した}$ は、

$dW_{した}=pdV$

ただしpは圧力です。微小変化なので、pの変化は無視することができます。なぜなら、

$(p+dp)dV=pdV+dpdV$

負の符号の場合は、気体がエネルギーを外力からもらったことになります。

気体が外界にされた微小な仕事 $dW_{された}$ は

$dW_{された}=-pdV$

です。これも、負の符号の場合は、気体が外に仕事をしたことになります。

です。

大雑把な証明は以下のような感じです。

体積の微小な変化dVは、微小な壁dSの壁の微小な移動 $d\vec{x}$ で表せる。

$dV=\vec{n}・d\vec{x}dS$ ...①

ただし $\vec{n}$ は壁dSと直交する長さ1の外向きのベクトルである。

気体の圧力による力は、

$\vec{F}=pdS\vec{n}$ ...②

と書ける。よって仕事の定義と、①、②より、

$dW=\vec{F}・d\vec{x}=pdS\vec{n}・d\vec{x}=pdV$

$dW_{した}=pdV$ の公式は、壁が非常にゆっくり動く場合のみ適用できます。

気体を分子が飛び交う集まりだとして想像してみてください。

気体分子の速さよりはるかに素早くピストンを引っ張る場合などは、分子が壁に追いつけませんよね。

従って、分子が壁にぶつかることもないので、気体の圧力は壁に伝わりません。

なので、 $dW_{した}=pdV$ の公式も成り立たないことになります。

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