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円運動の公式まとめと導出【向心運動方程式】【接線運動方程式】【力学】

運動方程式と力力学物理

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円運動についての公式をまとめ、公式の証明をするページです。

円運動は、等速円運動である場合とそうでない場合があります

まず、公式のまとめです

物体の質量m、半径R、角速度 $\omega(t)$ 、接線方向速度v(t)、接戦方向の加速度 $a_t(t)$ 、接線方向の力 $F_t(t)$ 、向心方向の加速度 $a_c(t)$ 、向心方向の力 $F_c(t)$ とする（接線方向の正の向きは角速度と速度と加速度で全て統一する）

$v(t)=R\omega(t)$

$F_c(t)=ma_c(t)=m\frac{v(t)^2}{R}=mR\omega(t)^2$ （向心運動方程式）

$F_t(t)=ma_t(t)=m\frac{dv(t)}{dt}=mR\frac{d\omega(t)}{dt}$ （接線運動方程式）

等速円運動の時に限り

$v(t)=v$ で時間によらず一定であり、したがって

$\omega(t)=\omega$ で角速度も一定。この時周期Tが定義でき、

$T=\frac{2\pi}{\omega}$

以下、証明です

前半部分は等速円運動であろうがそうでなかろうが成り立つが、後半部分は等速円運動の場合にのみ成り立つので、２パートに分けて示します

等速円運動に限らない公式の証明
等速円運動の場合の公式の証明

等速円運動に限らない公式の証明

半径Rの円運動の円の中心に原点をとって、xy座標（デカルト座標）をとると、円運動する物体の座標（位置ベクトル）は、

$\vec{x(t)}=(Rcos(θ(t)),Rsin(θ(t)))$

と表せる。

f:id:vasewell:20210212181222p:plain

ここで、θ(t)は時間の関数で角度を表す。角度を反時計回りにはかることに注意

角速度は

$\omega(t)=\frac{dθ(t)}{dt}=θ'(t)$

と定義される。すると、速度は、位置を時間で微分して

$\vec{v(t)}\\=\frac{d\vec{x(t)}}{dt}\\=\frac{d}{dt}(Rcos(θ(t)),Rsin(θ(t)))\\=(-Rθ'(t)sinθ(t),Rθ'(t)cos(θ(t)))\\=(-R\omega(t)sinθ(t),R\omega(t)cos(θ(t)))$ となる

f:id:vasewell:20210212181229p:plain

故に接線方向を反時計回りにはかると

$v(t)=R\omega(t)$ ......①

ゆえに $v'(t)=R\omega'(t)$ ......②

さらに、加速度は速度を微分して、

$\vec{a(t)}\\=\frac{d\vec{v(t)}}{dt}\\=\frac{d}{dt}(-R\omega(t)sinθ(t),R\omega(t)cos(θ(t)))\\=(-R\omega'(t)sinθ(t),R\omega'(t)cos(θ(t)))+(-R\omega(t)^2cosθ(t),-R\omega(t)^2sin(θ(t)))\\=\frac{\omega'(t)}{\omega(t)}\vec{v(t)}-\omega(t)^2\vec{x(t)}$

最後の行のベクトル表示より第一項が接線方向、第二項が中心方向を表すことがわかるが、それぞれ最後から二番目の行の第一項、第二項に対応しているので、

$a_t(t)=R\omega'(t)\\=v'(t) (∵②)$

$a_c(t)=R\omega(t)^2\\=\frac{v(t)^2}{R}(∵①)$

ここで、接線方向は反時計回りで、 $\vec{x(t)}$ は中心方向と逆向きであることに注意する。

f:id:vasewell:20210212182047p:plain
故に、運動方程式

$\vec{F(t)}=m\vec{a(t)}$

より、

$F_c(t)=ma_c(t)=m\frac{v(t)^2}{R}=mR\omega(t)^2$

$F_t(t)=ma_t(t)=m\frac{dv(t)}{dt}=mR\frac{d\omega(t)}{dt}$

がいえる。

等速円運動の場合の公式の証明

$v(t)=v$ で時間によらず一定であり、したがって①より

$\omega(t)=\omega$ で角速度も一定。ゆえにθ(t)は $θ(t)={\omega}t+θ_0$ （ $θ_0$ は定数）という一次関数になる。ゆえに、

$\vec{x(t)}=(Rcos(θ(t)),Rsin(θ(t)))=(Rcos({\omega}t+θ_0),Rsin({\omega}t+θ_0))$

の周期は、位相が2πまわる時間だから

${\omega}T=2\pi$

$T=\frac{2\pi}{\omega}$