磁場が電流に対してする「仕事」【回路のエネルギー収支】【電磁気】

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導体棒に生じる起電力の公式は有名です

この公式を解明するために、まず磁場が回路の電子にする「仕事」を導きます。

一般化のため、微小な導線における場合を考えましょう。

導体棒の場合は、それを積分すれば良いです。

ただし、電子は実際には磁場から仕事をされません。ここでいう「仕事」とは、導線に沿った一次元世界における仕事と捉えてください。

磁場が電流にする「仕事」

磁場中を導線（導体棒）が運動している。

　図のように微小な導線の部分に注目し、電流の正の向きに導線の微小ベクトルを定義する（が負ならば、電流はの逆方向に流れている）。これが速度で運動していることを考える。この瞬間、磁場が電子に与える微小な「仕事率」は

証明

 微小時間の間に電荷分の電子がこの微小ベクトルを逆向きに通過するとする。電子の速度ベクトルの内、と並行な成分は、磁場からの力のと並行な成分に寄与しない。電子の導線方向の加速を考えるので、電子の速度としてはを考えれば良い。すると、磁場からの微小な力は、

を考えれば良い。導線方向の仕事は、電子たちの変位ベクトルに注意して、

ゆえに仕事率は

である。

電子が負の電荷なので符号がちょっとややこしかったですが、正の電荷が電流と同じ向きに流れている場合も同様の結果になるので、まずその場合で確かめてみると良いでしょう。 

エネルギー収支

さて、磁場は実際には電荷に仕事をしないことは、磁場からの力が速度に直行していることからわかります。

ところが、前述の通り、導線方向には電子を加速させているわけです。

これは、回路の「エネルギー」収支を増加あるいは減少させていることになる。

これはどういうことか？

実は、磁場が結局のところ仕事をしないというのは次のように確認できます

磁場の導線に対する仕事率と、回路に対する仕事率の和は0である

証明

前節のように微小な運動する導線を考える

磁場から導線が受ける力の公式より

ゆえに、導線が受ける仕事率は

まとめ

導線が運動している時、磁場は電子を導線方向に加速させることで、「仕事」をする。

だが、磁場が電子にする「仕事率」と、磁場の導線に対する仕事率の和がゼロになるので、磁場が仕事をしないという一般則は成り立っている。