キルヒホッフの法則の証明と回路の一般論【電磁気】

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　回路が従うべき一般法則をまとめます。*1

　回路とはなんなのかについて軽く説明した後、回路において電圧とはどういうものなのかについて定義したのち、回路の理論を展開するにあたって必要な仮定とキルヒホッフの第一、第二法則を確認します。

回路とはなんなのか
回路の電位や電圧とはなんなのか
仮定
回路の一般法則（キルヒホッフの法則）
- キルヒホッフの第一法則の証明
- キルヒホッフの第二法則の証明
まとめ

回路とはなんなのか

　回路は中学理科ですでに扱っていますが、それだけでこの問いにはっきりと答えられるでしょうか？再び捉え直してみましょう。

　普通はこのようにループ状になっています

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もうちょっと複雑な例としてこんなのもあります

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　回路とは導線に繋がれた回路素子（電池、抵抗、コンデンサー、コイル、など）の集合体だと定義できそうです。つまり、回路は回路素子同士が導線によって関連するシステムであると言えるでしょう。

　さて、回路素子の物理的な状態はどのような量で表せるでしょうか？まず、各点の電流の大きさと向きが定義できます。それと、回路素子における電位差が定義できます。そして、各回路素子の内部には電場が存在します。

これらを計算するために必要な法則が、

回路が従う一般的な法則
各回路素子の性質（法則）

です。今回は回路の一般論なので前者のみ注目します。

回路の電位や電圧とはなんなのか

　ところが、ここで一つ注意するべき点があります。それは、回路で用いる「電圧」や「電位」という言葉は電磁場の理論で用いられる「電位」という言葉とずれている部分があるということです。というのも、電位というのは静電場で定義される概念ですが、回路の周辺は一般に静電場ではないからです。

　そこで、回路における電位差というものをまず定義しましょう。

回路における電位差は、その回路素子や導線周辺のみをみたときのその瞬間を静電場のように切り取った電位差とする。

　では、回路全体での電位は、どうなるのでしょうか？回路全体での電位も、一瞬を切り取れば定義できるのでしょうか？それはいつもできるわけではありません。ファラデーの電磁誘導の法則によるループ状の誘導電場が存在する場合は、全体で電位が定義できないことになります。なぜなら、電場のする仕事が電荷のループ一周運動で０にならないため、ループ電場では位置エネルギーが定義できないからです。そこでこのように局所的に電位差を定義しました。

仮定

　では、具体的にどのような一般法則に支配されているのでしょうか？その前に、まず以下のような仮定を置きます

仮定0：導体内部での変位電流を無視する

仮定1：アースなどしない限り電荷が回路の外へ出入りすることはない

仮定2：自由電子の加速*2は瞬間的に完了する。なぜなら、仕事を受けて加速された瞬間、非常に短い無視できるほどの時間で電荷分布が調整され、電場を生じさせることによってやはり仕事率ゼロ*3の状態が回復するからである。

　「仮定」は、回路を考える上でこのような現象しか扱わないという制限と思ってください。

　回路の一般法則は、この仮定とマクスウェル方程式から証明できます

回路の一般法則（キルヒホッフの法則）

　回路が満たす一般法則としてキルヒホッフの第一法則と第二法則があります

キルヒホッフの第一法則

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図のように回路内の任意の分岐点に流れ込む電流を $I_{in-j}$ j=1,2,...n,流れ出す電流の和を $I_{out-j}$ ,j=1,2,...mとすると、前者の和は後者の和に等しい

： $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}I_{in-j}=\displaystyle \sum_{j=1}^{m}I_{out-j}$

キルヒホッフの第二法則

f:id:vasewell:20210224183815p:plain — 矢印の方向に行くと電位が上昇するような向きで電位差を測る。電位差を測る向きは揃える。この電位差を測る向きと右ねじの法則の関係になるように磁束の向きをとる。図のような場合、磁場は下向きが正の方向である。

時間と共に変動する磁場中で回路が運動している場合を考える*4。図のように回路内の任意の閉じた経路に対して、その経路の周る向きを定義し、それに沿って各回路素子の電位差 $V_j$ 、j=1,2,...nを定義する*5。nは回路素子の個数である。回路の周る向きが右ねじの法則の向きになるような方向を磁場の正の方向とし、それを磁束 $Φ(t)$ の向きを定義する*6。すると、

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}V_j-\frac{dΦ(t)}{dt}=0$

キルヒホッフの第二法則について、疑問に思った方がいらっしゃるかもしれません。 $\frac{dΦ(t)}{dt}$ という余計な項がついていると。これについてはのちの記事で説明します。

証明

証明は一部高校数学を超えます

キルヒホッフの第一法則の証明

回路の分岐点の電荷は0のままで増えたり減ったりすることはないと仮定すれば*7、電荷保存則より、

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}I_{in-j}=\displaystyle \sum_{j=1}^{m}I_{out-j}$

である。

キルヒホッフの第二法則の証明

ファラデー-マクスウェルの式

$\vec{▽}×\vec{E}=-\frac{∂\vec{B}}{∂t}$

にストークスの定理を用いて、

$\oint_{C(t)}\vec{E}・\vec{dr}=-\int_{S(t)}\frac{∂\vec{B}}{∂t}・\vec{dS}$ ...①

ただし、C(t)は定義した回路の周る向きに沿った積分であり、S(t)は磁束の正の向きを正としてとる。

一方、磁束の定義より

$dΦ(t)=d\int_{S(t)}\vec{B}・\vec{dS}=dt\int_{S(t)}\frac{∂\vec{B}}{∂t}・\vec{dS}+\int_{dS(t)}\vec{B}・\vec{dS}$

これに①を代入して、

$dΦ(t)=-dt\oint_{C(t)}\vec{E}・\vec{dr}+\int_{dS(t)}\vec{B}・\vec{dS}$ ...②

$\oint_{C(t)}\vec{E}・\vec{dr}$ は局所的な電位差を周回積分したものだから

$\oint_{C(t)}\vec{E}・\vec{dr}=-\oint_{C(t)}dV$ *8

これを②に代入して

$dΦ(t)=dt\oint_{C(t)}dV+\int_{dS(t)}\vec{B}・\vec{dS}$ ...③

微小な電流要素 $I\vec{dr}$ が速度 $\vec{v}$ で運動している時、微小時間dtでローレンツ力が電子にする仕事dW*9は

$dW=(\vec{v}×\vec{B})・\vec{Idr}dt$

である

この仕事を仮定2により打ち消す電場が生じる。それによって生じる局所的な電位差は

$dV=(\vec{v}×\vec{B})・\vec{dr}$

これと、回路素子の電位差を合わせて

$\oint_{C(t)}dV=\oint_{C(t)}(\vec{v}×\vec{B})・\vec{dr}+\displaystyle \sum_{j=1}^{n}V_j=\oint_{C(t)}(\vec{v}×\vec{B})・\vec{dr}+\displaystyle \sum_{j=1}^{n}V_j$