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力積と運動量の公式まとめ(導出、証明つき)【力学】

運動量力学

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運動量と力積の公式をまとめます。

公式のまとめ
証明

公式のまとめ

力 $\vec{F}(t)$ が時刻 $t_1$ から $t_1$ までに加えた力積 $\vec{I}_{t_1}^{t_2}$ の定義は
$\vec{I}_{t_1}^{t_2}\equiv\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$
同じ意味だが、力 $\vec{F}(t)$ が微小時間tからt+dtの間に加えた微小な力積 $d\vec{I}$ の定義は
$d\vec{I}\equiv\vec{F}dt$
任意の物体Xに対して、物体Xの受ける力の合計を $\vec{F}(t)$ とする。 $\vec{F}(t)$ が時刻 $t_1$ から $t_1$ までに加えた力積 $\vec{I}_{t_1}^{t_2}$ は、その時刻 $t_1$ から $t_1$ までの間の物体Xの運動量の変化 $△_{t_1}^{t_2}\vec{p}$ に等しい。つまり
$\vec{I}_{t_1}^{t_2}=△_{t_1}^{t_2}\vec{p}$
同じ事だが、 $\vec{F}$ が微小時間tからt+dtの間に加えた微小な力積 $d\vec{I}$ は、その微小時間の間の物体Xの運動量の変化 $d\vec{p}$ に等しい。つまり
$d\vec{I}=d\vec{p}$

証明

まず前半二つは定義なので証明するものではありません。

$d\vec{I}\equiv\vec{F}dt$

の両辺を積分すると

$\vec{I}_{t_1}^{t_2}\equiv\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$

になります。これを微分するとまた前の式に戻ります。なのでこれらは等価です。

これと運動方程式を合わせて後半の二つを導きます。

運動方程式

$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$

を力積の定義

$\vec{I}_{t_1}^{t_2}\equiv\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$

に代入すると

$\vec{I}_{t_1}^{t_2}=\int_{t_1}^{t_2}\frac{d\vec{p}(t)}{dt}dt$

置換積分の形になっているので

$\vec{I}_{t_1}^{t_2}=\int_{t_1}^{t_2}d\vec{p}=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)=△_{t_1}^{t_2}\vec{p}$

となる。

微小時間の場合も導出しましょう。

運動方程式

$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$

を力積の定義

$d\vec{I}\equiv\vec{F}dt$

に代入すると

$d\vec{I}=\frac{d\vec{p}}{dt}dt=d\vec{p}$

なので確かに成り立つ。

微小変化の式の方が覚えやすく、運動方程式との関係も見やすいのです。