【物理】運動エネルギーと仕事の関係の導出・証明【単なる定理！】【力学】

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エネルギーと仕事の関係
微小変化の関係式
等加速度運動の公式との関係

エネルギーと仕事の関係

エネルギーと仕事の関係は、エネルギー保存則とは違います

単に運動方程式と運動エネルギーの定義から証明できる定理に過ぎません

それはこういうものです

質量mの質点mが時刻 $t_0$ から $t_1$ にて受けた全ての仕事を $W$ 、時刻 $t_0$ 、 $t_1$ における運動エネルギーを $K_1$ 、 $K_2$ とする。このとき

$W=K_1-K_0$

つまり、受けた仕事の分だけ運動エネルギーが増える（負の仕事なら減る）

まず、仕事率P(t)は、質点がうける力の合計 $\vec{F(t)}$ 、速度 $\vec{v(t)}$ を用いて

$P(t)=\vec{F(t)}・\vec{v(t)}$

そして、仕事Wは

$\int_{t_0}^{t_1}P(t)dt=\int_{t_0}^{t_1}\vec{F(t)}・\vec{v(t)}dt=\int_{t_0}^{t_1}m\vec{a(t)}・\vec{v(t)}dt$ ...①

$\vec{a(t)}$ は質点の加速度で、右の等号に運動方程式 $\vec{F(t)}=m\vec{a(t)}・\vec{v(t)}$ を用いた

ここで、デカルト座標を導入して成分表示を

$\vec{v(t)}=(v_x(t),v_y(t),v_z(t))$ 、 $\vec{a(t)}=(a_x(t),a_y(t),a_z(t))$

とおくと①の右辺は、

$\int_{t_0}^{t_1}m\vec{a(t)}・\vec{v(t)}dt\\=m\int_{t_0}^{t_1}a_x(t)v_x(t)dt\\+m\int_{t_0}^{t_1}a_y(t)v_y(t)dt\\+m\int_{t_0}^{t_1}a_z(t)v_z(t)dt(内積・の成分表示)\\=m\int_{t_0}^{t_1}\frac{dv_x(t)}{dt}v_x(t)dt\\+m\int_{t_0}^{t_1}\frac{dv_y(t)}{dt}v_y(t)dt\\+m\int_{t_0}^{t_1}\frac{dv_z(t)}{dt}v_z(t)dt(加速度の定義)\\=m\int_{v_x(t_0)}^{v_x(t_1)}v_xdv_x\\+m\int_{v_y(t_0)}^{v_y(t_1)}v_ydv_y\\+m\int_{v_z(t_0)}^{v_z(t_1)}v_zdv_z(置換積分)\\=m(\frac{1}{2}v_x(t_1)^2-\frac{1}{2}v_x(t_0)^2)\\+m(\frac{1}{2}v_y(t_1)^2-\frac{1}{2}v_y(t_0)^2)\\+m(\frac{1}{2}v_z(t_1)^2-\frac{1}{2}v_z(t_0)^2)\\=\frac{1}{2}mv(t_1)^2-\frac{1}{2}mv(t_0)^2\\=K_1-K_0$

となるので結局、

$W=K_1-K_0$

となる

微小変化の関係式

運動エネルギーと仕事の関係は微小時間の変化として表現すると

$dK=Pdt$

積分すると前節の関係を導くことができます。

[証明]

$dK\\=d(\frac{1}{2}m|\vec{v}|^2)(運動エネルギーの定義)\\=\frac{1}{2}md(v_x^2+v_y^2+v_z^2)\\=m(v_xdv_x+v_ydv_y+v_zdv_z)(dx^2=2xdx)\\=m\vec{v}・d\vec{v}\\=m\vec{v}・\vec{a}dt(加速度aの定義)\\=\vec{F}・\vec{v}dt(運動方程式)\\=Pdt(仕事率の定義)$