内力の仕事の合計は座標系によらない【力学】

いくつかの物体系を考えるとき、その内力の仕事の合計は座標系によらず一定である*1ことを示します（加速度系の慣性力は外力として扱いましょう）

n個の物体系の系Aの物体をj＝1,2,...nとする

物体jからkへの力を $\vec{F_{jk}}$ とおく

すると、内力の仕事率の合計 $P_{in}$ は

$P_{内}=\displaystyle \sum_{j∈A}\sum_{k∈A}(\vec{F_{jk}}・\vec{v_k})$

一方この系からみて速度 $\vec{V}$ の速度で動いている座標系からみると、内力の仕事率の合計 $P_{内2}$ は

$P_{内2}\\=\displaystyle \sum_{j∈A}\sum_{k∈A}\vec{F_{jk}}・(\vec{v_k}-\vec{V})\\=\displaystyle \sum_{j∈A}\sum_{k∈A}(\vec{F_{jk}}・\vec{v_k})-(\displaystyle \sum_{j∈A}\sum_{k∈A}\vec{F_{jk}})・\vec{V}\\=P_内$

である。ただし、最後の等号は、作用反作用の法則より

$\displaystyle \sum_{j∈A}\sum_{k∈A}\vec{F_{jk}}=\vec{0}$

であることから従う

ゆえに、内力の仕事の合計は、座標系によらないことがわかる

*1:個々の内力の仕事は当然座標系によって変化する

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内力の仕事の合計は座標系によらない【力学】