相対運動エネルギーと重心運動エネルギーとは？【運動エネルギーを分解する】【力学】

いくつかの物体の系を考えます

系の全運動エネルギーを重心運動エネルギーと相対運動エネルギーに分ける(①)ことができるということと、系の内力の仕事と外力の仕事がこの二つのエネルギーにどう影響するか（③、④）について説明します

公式

系の全運動エネルギーを $K$ 、重心系から見た全運動エネルギーを $K_{in}$ （相対運動エネルギー）、重心に全質量が集まったと見て、系全体を一つの質点と見たとき（重心質点と仮に呼ぶ）の運動エネルギーを $K_G$ （重心運動エネルギーとする。このとき

$K=K_{in}+K_G$ ...①

ゆえにΔを時刻 $t_0$ から時刻 $t_1$ までの変化量とするとき

$ΔK=ΔK_{in}+ΔK_G$ ...②

右辺は、時刻 $t_0$ から時刻 $t_1$ までの内力の仕事の合計 $W_{内}$ 、重心系における外力の仕事 $W_{外in}$ 、外力が重心質点にする仕事 $W_{外G}$ を用いて

$ΔK_{in}=W_内+W_{外in}$ ...③

$ΔK_G=W_{外G}$ ...④

図示すると以下のようになります

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証明

n個の物体の系（集合）の名前をAとし、物体の名前をj=1,2,3,...nとする

それぞれの質量を $m_j$

jの位置ベクトルを $\vec{x_j}$ 　速度ベクトルを $\vec{v_j}$ 、重心系からみた速度ベクトルを $\vec{v_{j-in}}$ 　運動エネルギーを $K_j$ 、重心系から見た運動エネルギーを $K_{j-in}$ とし、

重心の位置ベクトルを $\vec{x_G}$ 　速度ベクトルを $\vec{v_G}$

合計質量を $M$ とする

また、それぞれのベクトルの大きさは矢印を付けずに表すものとする

まず①を示す

$K\\=\displaystyle \sum_{j∈A}K_j\\=\displaystyle \sum_{j∈A}\frac{1}{2}m_jv_j^2\\=\displaystyle \sum_{j∈A}\frac{1}{2}m_j|\vec{v_G}+(\vec{v_j}-\vec{v_G})|^2\\=\displaystyle \sum_{j∈A}\frac{1}{2}m_j(v_G^2+|\vec{v_j}-\vec{v_G}|^2+2\vec{v_G}・(\vec{v_j}-\vec{v_G}))\\=\displaystyle \sum_{j∈A}\frac{1}{2}m_jv_G^2+\displaystyle \sum_{j∈A}\frac{1}{2}m_jv_{j-in}^2+ \displaystyle \sum_{j∈A}m_j\vec{v_G}・\vec{v_{j-in}}\\=\frac{1}{2}Mv_G^2+\displaystyle \sum_{j∈A}K_{j-in}+ \vec{v_G}・\displaystyle \sum_{j∈A}m_j\vec{v_{j-in}}\\=K_G+K_{in}+ \vec{v_G}・\vec{P_G}\\$